和差化积（和差化积和积化和差的公式口诀）

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什么叫和差化积

积化和差，口诀指初等数学三角函数部分的和差化积和差化积和积化和一组恒等式。可以通过展开角的公式和差恒等式的手段来证明。记忆方法积化和差公式的口诀形式比较复杂，记忆中以下几个方面是和差化积和差化积和积化和难点，下面指出了特点各自的公式简单记忆方法。这一点最简单的口诀记忆方法是通过三角函数的值域来判断。sin和cos的和差化积和差化积和积化和值域都是[-1,1]，其和差的公式值域应该 是[-2,2]，而积的口诀值域却是[-1,1]，因此除以2是必须的。也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：cos（α-β）-cos（α+β）=(cosαcosβ+sinαsinβ）-(cosαcosβ-sinαsinβ）=2sinαsinβ故最后需要除以2。

和差化积口诀

和差化积口诀：帅+帅=帅哥，sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2。帅-帅=哥帅，sina-sinβ=2cos(a+β)/2*sin(a-β)/2。哥+哥=哥哥，cosa+cosβ=2cos(a+β)/2*cos(a-β)/2。哥-哥=负嫂嫂。cosa-cosβ=-2sin(a+β)/2*sin(a-β)/2。

和差化积公式：包括正弦、余弦、正切和余切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式，和差化积公式共10组。在应用和差化积时，必须是一次同名（正切和余切除外）三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次。

和差化积是什么

正弦、余弦的和差化积公式 指高中数学三角函数部分的一组恒等式 sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】 以上四组公式可以由积化和差公式推导得到 证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设α+β=θ，α-β=φ 那么 α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2 把α，β的值代入，即得 sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2] 编辑本段正切的和差化积 tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明） cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ) tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ) tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ) 证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ) =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边 ∴等式成立 编辑本段注意事项 在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次 口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然 生动的口诀：（和差化积）

和差化积的公式。

积化和差

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

和差化积

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

和差化积公式推导

附推导：

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

和差化积的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于和差化积和积化和差的公式口诀、和差化积的信息别忘了在本站进行查找喔。

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